Неуловимый Джа (xa__) wrote,
Неуловимый Джа
xa__

Categories:

Счастливые числа

Классную книгу мне тут ksgrv подогнал - "Вы, конечно, шутите, Мистер Фейнман!", классно иллюстрирована, вот, например: "Мистер Фейнман знакомится с числом Пи".



Вот, например, глава "Счастливые числа":

Однажды в Принстоне я сидел в комнате отдыха и случайно услышал, как математики говорят о ряде для ex , который выглядит как 1+x+x2/2!+x3/3! Каждый последующий член ряда получается при умножении предыдущего члена на x и его делении на следующее порядковое число. Например, чтобы получить член, следующий за x4/4! , нужно умножить этот член на x и разделить на 5. Все очень просто.
Когда я был ребенком, я просто восхищался рядами и нередко забавлялся с ними. С помощью ряда, о котором шла речь, я вычислял e и видел, как быстро уменьшаются последующие члены.
Я пробормотал что то вроде того, как легко можно вычислить любую степень e с помощью этого ряда (достаточно просто подставить эту степень вместо x ).
– Да? – сказали они. “Отлично, чему равно e в степени 3, 3?” – спросил какой то шутник. По моему, это был Таки.
Я говорю: “Легко. 27,11”.
Таки знает, что вычислить это в уме совсем нелегко. “Эй! Как тебе это удалось?”
Другой парень говорит: “Ну вы же знаете Фейнмана, он просто выдумал это число. На самом деле оно неправильное”.
Они идут за таблицей, а я тем временем добавляю еще несколько цифр. “27, 1126”, – говорю я.
Они находят число в таблице. “Правильно! Но как ты это сделал?”
– Я просто суммировал ряд.
– Никто не умеет суммировать ряды так быстро. Ты, видимо, просто знал это число. А чему равно e в степени 3?
– Слушайте, – говорю я. – Это сложная работа! Я могу посчитать только одну степень в день!
– Ага! Это надувательство! – обрадовались они.
– О'кей, – говорю я. – 20, 085. Пока они ищут число в книжке, я добавляю еще несколько цифр. Теперь они возбуждаются, потому что я правильно назвал еще одно число.
Итак, все великие математики современности озадачены тем, как мне удается подсчитать любую степень e ! Один из них говорит: “Не может быть, чтобы он просто подставлял это число и суммировал ряд – это слишком сложно. Тут есть какой то трюк. Ты не сможешь вычислить какое угодно число, например, e в степени 1, 4”.
Я говорю: “Да, работа не из легких. Но для вас, так и быть. 4, 05”.
Пока они ищут ответ, я добавляю еще несколько цифр и говорю: “Все, на сегодня это последнее”, и выхожу из комнаты.
Произошло же следующее. Я случайно знал три числа: натуральный логарифм 10 (который нужен, чтобы переводить числа от основания 10 к основанию e ), который равен 2, 3026 (поэтому я знал, что e в степени 2, 3 примерно равно 10), а из за радиоактивности (средняя продолжительность жизни и период полураспада) я знал натуральный логарифм 2, который равен 0, 69315 (поэтому я также знал, что e в степени 0, 7 равно почти 2). Кроме того, я знал, что e (в степени 1) равно 2, 71828.
Сначала меня попросили возвести e в степень 3, 3. Это все равно, что e в степени 2, 3 (то есть 10), умноженное на e , то есть 27, 18. Пока они старались понять, как мне это удалось, я внес поправку на лишние 0, 0026: 2, 3026 – слегка завышенное число.
Я знал, что не смогу вычислить следующее число. Мне просто повезло, когда парень назвал e в степени 3: это e в степени 2, 3, умноженное на e в степени 0, 7 (или 10, умноженное на 2). Итак, я знал, что это 20 с чем то, а пока они раздумывали над тем, как мне это удалось, я внес поправку на 0, 693.
Ну уж теперь то я был уверен, что не смогу вычислить следующее число, но мне опять повезло. Парень попросил посчитать е в степени 1, 4, а это e в степени 0, 7, умноженное на само себя. Так что все, что мне пришлось сделать, так это чуть чуть подкорректировать четверку!
Они так никогда и не поняли, как мне это удалось.
Когда я был в Лос Аламосе, я обнаружил, что Ханс Бете умеет превосходно считать. Например, как то раз мы подставляли числа в формулу и дошли до возведения в квадрат числа 48. Я потянулся за калькулятором Маршан, он же сказал: “Это 2300”. Я начинаю нажимать кнопки, а он говорит: “Если тебе нужно знать точно, то ответ 2304”.
Машина говорит 2304. “Класс! Это же просто здорово!” – говорю я.
– Разве ты не знаешь, как возводят в квадрат числа, близкие к 50? – говорит он. – Возводишь в квадрат 50, это 2500, а потом вычитаешь 100, умноженное на разность нужного тебе числа и 50 (в данном случае эта разность равна 2), получается 2300. Если хочешь получить точный результат, возведи эту разность в квадрат и прибавь к полученному числу. Так и получается 2304.
Через несколько минут нам понадобилось взять кубический корень из 2, 5. Чтобы взять кубический корень с помощью калькулятора Маршан, нужно воспользоваться таблицей для первого приближения. Я открываю ящик, чтобы взять эту таблицу, – на этот раз времени требуется немного больше, – а он говорит: “Примерно 1, 35”.
Я проверяю результат на Маршане, и он оказывается правильным. “А как ты это сделал? – спрашиваю я. – Ты владеешь секретом того, как брать кубический корень из числа?”
– О, – говорит он, – логарифм 2, 5 равен стольки то. Треть этого логарифма находится между логарифмом 1, 3, который равен стольки то, и логарифмом 1, 4, который равен стольки то, так что я просто применил метод интерполяции.
Итак, кое что я выяснил: во первых, он наизусть знает таблицы логарифмов, а во вторых, один только объем арифметических действий, которые он проделал во время интерполяции, отнял бы у меня больше времени, чем если бы я просто подошел к столу и понажимал кнопки калькулятора. На меня это произвело колоссальное впечатление.
После этого я тоже пытался проделать что либо подобное. Я запомнил значения нескольких логарифмов и начал замечать, что происходит. Например, если кто то спрашивает: “Чему равно 28 в квадрате?”, замечаешь, что квадратный корень из двух равен 1, 4, а 28 – это 20, умноженное на 1, 4, поэтому 28 в квадрате должно примерно равняться 400, умноженному на 2, или 800.
Если кто нибудь спрашивает, сколько получится, если разделить 1 на 1, 73, то можно сразу ответить, что 0, 577, потому что знаешь, что 1, 73 – это почти квадратный корень из 3, поэтому 1/1, 73 равно одной трети квадратного корня из 3. А если нужно определить отношение 1/1, 75, оно равно величине обратной дроби 7/4, а вы помните, что если в знаменателе стоит 7, то десятичные цифры повторяются: 0, 571428...
Меня очень забавляли мои собственные попытки быстрого выполнения арифметических действий с помощью хитрых приемов, а в особенности состязание с Хансом. Однако заметить что либо, что упустил он, и указать ему на ответ мне удавалось крайне редко, но, когда все же удавалось, он от души смеялся. Он обладал уникальной способностью почти всегда находить ответ на любую задачу в пределах одного процента. Для него это не составляло особой сложности: каждое число было близко к какому то другому, которое он знал.
Однажды я пребывал в особенно хорошем расположении духа. В техническом отделе был обеденный перерыв, и я не знаю, как такая идея могла прийти мне в голову, но я заявил: “За шестьдесят секунд я могу дать ответ с точностью до 10 процентов на любую задачу, которую кто либо сумеет сформулировать за десять секунд!”
Люди начали давать мне задачи, которые казались им сложными, например, проинтегрировать функцию типа 1/(1+x4), которая практически не изменяется в названном ими диапазоне. Самой сложной задачей, которую мне дали, было определить биномиальный коэффициент x10 в выражении (1 + x)20. Я это сделал ровно за 60 секунд.
Все давали мне задачи, я чувствовал себя великим, когда в столовую вошел Пол Олам. До приезда в Лос Аламос какое то время Пол работал вместе со мной в Принстоне и всегда оказывался умнее меня. Например, однажды я в рассеянности играл одной из мерных лент, которые при нажатии кнопки, возвращаясь в рулетку, врезаются в руку. Лента все время слегка поворачивалась, и мне было немного больно. “Ой! – воскликнул я. – Ну и осел же я. Я продолжаю играть с этой штукой, а она каждый раз причиняет мне боль”.
Он сказал: “Ты ее неправильно держишь”, взял эту чертову штуковину, вытащил ленту, нажал кнопку, и она вернулась точно на место, не причинив ему боли.
– Здорово! Как ты это делаешь? – воскликнул я.
– Догадайся!
В течение следующих двух недель я хожу по Принстону, щелкая рулеткой и пытаясь загнать ленту на место, до тех пор пока на моей руке не остается живого места. Наконец, мое терпение лопает. “Поль! Я сдаюсь! Как, черт побери, ты держишь эту штуковину, что она не ранит твою руку?”
– А кто говорил, что не ранит? Мне тоже бывает больно!
Я почувствовал себя полным идиотом. Он сумел сделать так, что я две недели издевался над своей рукой!
Так вот, Пол проходит по столовой, где все просто стоят на ушах. “Эй, Пол! – кричат они. – Фейнман – просто супер! Мы даем ему задачу, которую можно сформулировать за десять секунд, и он за одну минуту дает ответ с точностью до 10 процентов. Дай ему какую нибудь задачу!”
Почти не останавливаясь, он говорит: “Тангенс 10 градусов в сотой степени”.
Я влип: для этого нужно делить на число пи до ста десятичных разрядов! Это было безнадежно!
Однажды я похвастался: “Я могу решить любой интеграл, который все остальные могут решить только с помощью интегрирования по контуру, другими способами”.
Тогда Пол пишет мне просто огромный чертов интеграл, который он получил, начав с комплексной функции, ответ которой он знал. Он убрал вещественную часть этой функции и оставил лишь мнимую. Он развернул функцию так, что единственным возможным способом решения интеграла осталось интегрирование по контуру! Он все время подставлял мне такие подножки. Он был очень умен.
Когда я впервые попал в Бразилию, я как то раз обедал, не помню во сколько, – я постоянно приходил в ресторан не вовремя, – поэтому и оказался единственным посетителем. Я ел рис с бифштексом (который обожал), а неподалеку стояли четыре официанта.
Тут в ресторан вошел японец. Я уже раньше видел его: он бродил по городу, пытаясь продать счеты. Он начал разговаривать с официантами и бросил им вызов, заявив, что может складывать числа быстрее, чем любой из них.
Официанты не хотели потерять лицо, поэтому сказали: “Да, да, конечно. А почему бы Вам не пойти к тому посетителю и не устроить соревнование с ним?”
Этот человек подошел ко мне. Я попытался сопротивляться: “Я плохо говорю на португальском!”
Официанты засмеялись. “С числами это не имеет значения”, – сказали они.
Они принесли мне карандаш и бумагу.
Человек попросил официанта назвать несколько чисел, которые нужно сложить. Он разбил меня наголову, потому что пока я писал числа, он уже складывал их.
Тогда я предложил, чтобы официант написал два одинаковых списка чисел и отдал их нам одновременно. Разница оказалась небольшой. Он опять выиграл у меня приличное время.
Однако японец вошел в раж: он хотел показать, какой он умный. “Multiplicao! Note7” – сказал он.
Кто то написал задачу. Он снова выиграл у меня, хотя и не так много, потому что я довольно прилично умею умножать.
А потом этот человек сделал ошибку: он предложил деление. Он не понимал одного: чем сложнее задача, тем у меня больше шансов победить.
Нам дали длинную задачу на деление. Ничья.
Это весьма обеспокоило японца, потому что он явно прекрасно умел выполнять арифметические операции с помощью счет, а тут его почти победил какой то посетитель ресторана.
“Raios cubicos!” – мстительно говорит он. Кубические корни! Он хочет брать кубические корни с помощью арифметики! Трудно найти более сложную фундаментальную задачу в арифметике. Должно быть, это был его конек в упражнениях со счетами.
Он пишет на бумаге число – любое большое число – я до сих пор его помню: 1729, 03. Он начинает работать с этим числом и при этом что то бормочет и ворчит: “Бу бу бу хм гм бу бу”, – он трудится как демон! Он просто погружается в этот кубический корень!
Я же тем временем просто сижу на своем месте.
Один из официантов говорит: “Что Вы делаете?”
Я указываю на голову. “Думаю!” – говорю я. Затем пишу на бумаге 12. Еще через какое то время – 12, 002.
Человек со счетами вытирает со лба пот и говорит: “Двенадцать!”
“О, нет! – возражаю я. – Больше цифр! Больше цифр!” Я знаю, что, когда с помощью арифметики берешь кубический корень, то каждая последующая цифра требует большего труда, чем предыдущая. Это работа не из легких.
Он опять уходит в работу и при этом бормочет: “Уф фыр хм уф хм гм...”. Я же добавляю еще две цифры. Наконец, он поднимает голову и говорит: “12, 0!”
Официанты просто светятся от счастья. Они говорят японцу: “Смотрите! Он делает это в уме, а Вам нужны счеты! И цифр у него больше!”
Он был абсолютно измотан и ушел, побежденный и униженный. Официанты поздравили друг друга.
Каким же образом посетитель выиграл у счетов? Число было 1729, 03. Я случайно знал, что в кубическом футе 1728 кубических дюймов, так что было ясно, что ответ немногим больше 12. Излишек же, равный 1, 03, – это всего лишь одна часть из почти 2000, а во время курса исчисления я запомнил, что для маленьких дробей излишек кубического корня равен одной трети излишка числа. Так что мне пришлось лишь найти дробь 1/1728, затем умножить полученный результат на 4 (разделить на 3 и умножить на 12). Вот так мне удалось получить целую кучу цифр.
Несколько недель спустя этот человек вошел в бар того отеля, в котором я остановился. Он узнал меня и подошел. “Скажите мне, – спросил он, – как Вам удалось так быстро решить задачу с кубическим корнем?”
Я начал объяснять, что использовал приближенный метод, и мне достаточно было определить процент ошибки. “Допустим, Вы дали мне число 28. Кубический корень из 27 равен 3...”
Он берет счеты: жжжжжжжжжжжжжжжж – “Да”, – соглашается он.
И тут до меня доходит: он не знает чисел. Когда у тебя есть счеты, не нужно запоминать множество арифметических комбинаций; нужно просто научится щелкать костяшками вверх вниз. Нет необходимости запоминать, что 9 + 7 = 16; ты просто знаешь, что когда прибавляешь 9, то нужно передвинуть десятичную костяшку вверх, а единичную – вниз. Поэтому основные арифметические действия мы выполняем медленнее, зато мы знаем числа.
Более того, сама идея о приближенном методе вычисления была за пределами его понимания, несмотря на то, что зачастую невозможно найти метод точного вычисления кубического корня. Поэтому мне так и не удалось научить его брать кубический корень или объяснить, как мне повезло, что он выбрал число 1729, 03.
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 3 comments