Виктория (victorya_) wrote,
Виктория
victorya_

Categories:

"Математический символизм", выдержки из книги Г. Вейля "Математическое мышление"

Я не буду перепевать Битлз своими словами, я просто предлагаю насладиться оригиналом. :-)


Лейбниц понимает знаки как известные вещи, при помощи которых выражаются взаимоотношения других вещей и которые легче поддаются исследованию, чем эти последние.

<...>

Хотя в период разработки формализма господствовало убеждение, что формулы суть отображения более абстрактных и, главное, более истинных математических высказываний, они и манипуляции с ними не были самоцелью; формулы служили для того, чтобы выразить и передать математические факты. Тогда, в самом начале двадцатого столетия, еще до того, как формализм принял до некоторой степени окончательный облик, произошли два события: во-первых, обнаружилось, что неограниченное применение кванторов фактически приводит к противоречиям, и, во-вторых, Брауэр выяснил, что принцип не может апеллировать к очевидности, если он применяется к высказываниям, в которых кванторы ”существуют” и ”все” относятся не к множеству отдельно указанных объектов, а к бесконечным множествам, таким, как, например, множество натуральных чисел или даже множество всех возможных бесконечных последовательностей таких чисел. В результате открылись два пути: браузровский интуиционизм, который ограничивается наглядно очевидными высказываниями (основанными на математической праинтуиции) и не превращает открытый в бесконечность ряд натуральных чисел в замкнутую область существующих самих по себе элементов, и гильбертовский формализм, в котором высказывания заменены лишенными смысла формулами, и поэтому применение кванторов ограничивается лишь заботой о том. чтобы не возникало никаких противоречий. В результате такого переосмысления, в котором истинность отдельного математического положения не принимается во внимание, а значение придается только непротиворечивости системы, Гильберт предложил проект спасения классической математики во всем ее объеме.

<...>

Если формальная математика больше не претендует на установление истинных утверждений, следует задать вопрос, какую же тогда цель она вообще ставит перед собой. Ответ Кузанского и Лейбница, что математика будто бы отражает в конечных символах идеи, которыми Бог обладает в непосредственнои интуиции бесконечного, в наше время находит мало сочувствия, и он во всяком случае слишком односторонне теологичен. Убедительней звучит указание на естественно-научное применение математики, на роль, которую она играет при конструктивном построении теории реального мира в физике. В этом случае мы можем обратиться к проверке теоретической конструкции посредством опыта и предсказаний. Ситуация, которую мы застаем в теоретической физике, никоим образом не соответствует идеалу, который выдвинул и осуществил в своей математике Брауэр, а именно, чтобы каждое суждение имело бы свой собственный, наглядно реализуемый смысл. Законы физики, взятые по отдельности, вовсе не обладают проверяемым в опыте содержанием. Только теоретическая система в целом может быть сопоставлена с опытом. Может быть, и верно, что физическое измерение должно, как часто утверждается, иметь дело лишь с установлением неких совпадений, тем не менее надо признать, что наш интерес в первую очередь состоит не в том, чтобы фиксировать то деление шкалы, на которое указывает стрелка, а в идеальных положениях, которые, согласно теории, проявляются в этих
совпадениях, но смысл которых не реализуется ни в каком данном созерцании, как, например, положение о том, что электрон есть универсальный элементарный квант электричества. Движимые метафизической верой в реальность внешнего мира, мы исследуем символические формы
трансцендентного и испытываем удовлетворение от того, что они подтверждаются в опыте. В результате я прихожу к следующей точке зрения: если брать математику саму по себе, надо вместе с Брауэром ограничиться благоразумными истинами, в которые бесконечное входит только как открытое поле возможностеи.` Нельзя выдумать ничего, что вывело бы за эти рамки. В естествознании, однако, мы касаемся сфер, вовсе недоступных наглядному созерцанию. Познание в этом случае необходимо становится символическим, и если математика вовлекается физикой в процесс теоретического конструирования мира, то при этом нет необходимости в том, чтобы математическое могло быть изолировано в этой конструкции в качестве особой области наглядно достоверного.


<...> Иначе оценивает дело Беккер. В конце одной ранее уже цитировавшейся статьи он делает следующее замечание по поводу высказывания Гильберта, фон Неймана и Нордхайма об основаниях квантовой механики: ”Таким образом, в ”толкование” природы как бы вторгаются с законченным, онтологически непонятным "математическим аппаратом” в руках: подобно магическому ключу, аппарат раскрывает физические проблемы, но раскрывает их лишь в смысле символического представления, а не в смысле интерпретации, действительно ”открывающей” феномены в их взаимосвязи”. И он заканчивает словами: ”Главное направление этих символических путей древне, архаично и даже ”предисторично”: новейшая ”точная” наука снова становится магией, из которой она когда-то родилась”.
Tags: Вейль "Математическое мышление"
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments