Tags: математика в кафе

Математика в кафе. S2E2.

Задача о Васе в интернете.

Задача навеяна условием задачи "на соображение" из журнала Компьютерра. Программист Вася играет в интернете в такую игру: начиная с какой-то страницы он начинает ходить по страницам, переходя всегда по первой ссылке со страницы. Известно, что с каждой страницы есть хотя бы одна ссылка.

Как ему понять, что он уже "зациклился", если его браузер умеет сохранять только конечное число "закладок"? (в оригинальном условии — 2 закладки).

Участвовали: Володя, Лёша, Катя, Саша, Лена, Алёша, Настя, я.

Саша довольно быстро заметил, что на самом деле достаточно одной закладки, после чего мы занялись подсчётом сложности алгоритма в зависимости от размера и конфигурации той части сети, по которой Вася "путешествует".

Текст получился путаным, но, боюсь, что ничего более толкового я в ближайшее время не напишу, а потом — и подавно :(
невероятная куча вычисленийCollapse )

Математика в кафе. S2E1.

Рассматривалась задача об обмене фотографиями (она же — задача о сплетницах).

n человек съездили вместе в Калининград, каждый со своим фотоаппаратом. После этого они решили обменяться фотографиями. Когда два человека обмениваются, каждый переписывает себе все фотографии, которые к этому моменту есть у другого. Вопрос: сколько обменов данными надо осуществить, чтобы у всех были все фотографии?

Участвовали: Володя, Лёша, Катя, Саша, Оля, Кирилл, я.

маленькая часть решенияCollapse )
Благодаря очень внимательной и хорошо информированной Оле, мы знаем, что настоящие решения лежат здесь.

Следующая Математика в кафе состоится в воскресенье 7 марта 2010 года в 19:00, по тому же адресу, что и в прошлый раз.

На велотреке (к девятому заседанию мат. кружка)

Рассматривалась задача о Яше на велотреке в следующей формулировке. Идеальный Яша ездит кругами по велотреку, причем если его скорость меньше V, то он создает некоторое постоянное ускорение a, а по достижению скорости V перестает крутить педали (потому что бесполезно ;) ). При этом на него действует сила тяжести g. Велотрек состоит из подъёмов и спусков произвольной формы, но устроен таким образом, что из любой его точки идеальный Яша способен стартовать с нулевой скоростью. Требуется определить форму трека, при которой средняя скорость будет наибольшей.
Рассуждения на темуCollapse )

Да будет свет (к восьмому заседанию мат. кружка)

Восьмое заседание проходило в весьма узком кругу: присутствовал _zif, yashunsky и вот этот вот товарищ:



Его я выбрал в меню, но съесть не смог - он так мило улыбался! Теперь он живёт у меня на столе.

Обсуждались вопросы освещённости прямоугольных параллелепипедов изнутри. Пусть есть "склад", представляющий из себя прямоугольный параллелепипед (ящик). В нём требуется разместить лампы таким образом, чтобы в каждой точке пола гарантировать заданную освещенность L. Требуется добиться этого минимальным, по возможности, количеством ламп.

Считается, что освещённость создаваемая лампой в точке выражается функцией l(r), где r - расстояние до лампы, и в каждой точки освещённости от разных ламп складываются.
Некоторые соображения на темуCollapse )

Рельсы, рельсы (к седьмому заседанию математического кружка)

Формулировка рассматриваемой задачи была такая: пусть есть неограниченный набор рельсов трёх типов: прямые, поворачивающие направо, поворачивающие налево (на самом деле, поворачивающие направо и налево - это одни и те же рельсы, как заметил kean). Прямые имеют длину 1, кривые являются дугами окружности радиуса R и длины R\alpha.





Требуется построить рельсовый путь из точки А в точку Б (допускаются мосты и тоннели, но не допускаются стрелки), а точнее, указать, когда это возможно.

Точного решения не получилось, но кое-что всё-таки есть
Рассуждения на темуCollapse )

О выявлении фальшивых монет (к шестому заседанию математического кружка)

В силу причин личного характера протокол шестого заседания я никак не мог собраться написать и, в итоге, дотянул до последнего. Однако, до вечера ещё немного времени осталось, поэтому я попробую всё-таки что-то изобразить.

Рассматривалась задача о поиске фальшивых монет среди настоящих. Достаточно известна следующая задача: пусть имеется 9 монет, одинаковых внешне, одна из которых тяжелее других (фальшивая). Требуется за 2 взвешивания найти эту монету.

Решение этой задачи также достаточно известно, поэтому разбирались обобщения этой задачи, среди которых
а) Сколько взвешиваний надо, чтобы найти тяжелую монету среди n монет?
б) Сколько взвешиваний надо, чтобы найти 2 тяжелые монеты среди n монет?

РешениеCollapse )

Сферические кони в вакууме (к пятому заседанию математического кружка)

Концепция сферического коня в вакууме является исключительно продуктивной для современной математики, а также других отраслей науки. Один из замечательных примеров можно найти здесь.

На пятом же заседании рассматривалось движение сферических коней в вакууме на прямоугольном участке плоскости с точками поглощения и отражения. То есть, говоря по-русски, рассматривалась игра в бильярд.

Сферичность коней (шаров) предполагала отсутствие трение, и абсолютную упругость как для столкновения шаров, так и для отражения шара от стенки. Для стенок в этом случае действует правило "угол падения равен углу отражения", а столкновение подвижного шара с неподвижным выглядит следующим образом:



Решался вопрос о забивании двух шаров "с одного кия".
Что получилосьCollapse )