Пушыстый (_winnie) wrote,
Пушыстый
_winnie

Categories:

функция Томе в реальной жизни

Функция Томе (она же модифицированная функция Дирихле, она же функция Римана (которая не дзета)) определяется так:
f(x) = 0 для иррациональных чисел
f(x) = 1/n, если x равен рациональному числу m/n (m/n - несократимая дробь).



Казалось бы, совершенно искусственная конструкция для теоретиков и мучителей студентов ("функция, непрерывная в иррациональных точках и разрывная в рациональных"). Но оказывается, можно встретить эту (точнее, похожую) функцию, играясь с более-менее физическими объектами.


Пример 1:
Есть посмотреть из начала координат на сад из деревьев высоты 1, посаженных квадратной решёткой, то увидим именно эту функцию ( http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_orchard ):



Пример 2:
Пусть у нас есть много избирательных участков, на каждом целочисленное число избирателей, от 1 и больше (пусть доля участков размера n это pn). Пусть на каждом участке случайным образом выбирается соотношение голосов за кандидата (можно использовать более реалистичное биноминальное-нормальное с одинаковой долей голосов за кандидата, картинка будет похожей, только сгруппированной вокруг этой доли).
Тогда распределение долей голосов за кандидата на участках - похоже на функцию Томе. За кандидата на участке не может проголосовать иррациональная доля голосующих, так как доля на участке - всегда отношение целого числа человек к целому.
В точке m/n - будет 1/(n+1) часть голосов с участков размера n, 1/(2n+1) часть голосов с участков размера 2n, и тд, т.е. функция вероятности дискретного распределения в точке m/n равна pn/(n+1) + p2n/(2n+1) + ....

На практике это означает, что нарисовав гистограмму (с мелкими корзинами) доли голосов на куче участков, среди которых много крошечных - получится "расческа" похожая на "функцию Томе", совсем не гладкая.
Tags: math
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 5 comments