?

Log in

No account? Create an account
nyaload

Журнал Пушыстого

Журнал Пушыстого

Previous Entry Share Next Entry
(no subject)
nyaload
_winnie
Украдено с школьной доски. Решать нужно без калькулятора.

Tags:


  • 1
Спасибо, решил

Edited at 2015-03-28 06:04 pm (UTC)

Изящненько. Какой класс?

Непонятно, я сфотографировал уже после уроков (т.е. даже неясно - это олимпиадное или из стандартного списка).

Золотое сечение как-то использовать?

Нет. Можно возвести в куб и решить кубическое уравнение угадыванием.

«Дан корень уравнения. Найти уравнение.»

Именно так, дано выражение, которое получается при формальной подстановке параметров кубического уравнения в формулу Кардано. Нужно восстановить исходное уравнение.

Без куркулятора, на бумажке

Пусть
r3(r2(5)+2) - r3(r2(5)-2) = Q

По формуле куба разности
(x-y)^3 = xxx-3xxy+3xyy-yyy = xxx-yyy-3xy(x-y)

Возведём разность в куб...
Q^3 = r2(5)+2-r2(5)+2-3*r3((r2(5)+2)(r3(5)-2))*Q
Q^3 = 4-3*r3(5-4)*Q
Q^3 = 4-3Q

Кубическое уравнение решать влом, поэтому методом тыка...
Q = 1 - с первой же попытки.
Даже если там есть другие корни, они нас не интересуют. Мы ждём вещественный положительный ответ, и мы его дождались.

Интересно другое. Какие процессы были в голове у составителя задачи?
Ведь у школьной задачи должен быть не только красивый и простой ответ, но и красивое условие.

> Кубическое уравнение решать влом, поэтому методом тыка...
Q = 1 - с первой же попытки.
Даже если там есть другие корни, они нас не интересуют.


Нет уж, дели q³+3q−4 на (q−1).

Про метод тыка вообще не надо палиться, надо сказать: «легко проверить, что этот многочлен разлагается в произведение (q−1)(q²+?q+?), где у второго множителя отрицательный дискриминант.»

Edited at 2015-03-28 10:55 pm (UTC)

> Нет уж, дели
Нет уж, q³+3q монотонно возрастает

После решения этой задачи - можно самостоятельно вывести формулу Кардано, а заодно понять, что прямолинейного применения формулы - недостаточно. Так что вполне педагогично.


Edited at 2015-03-28 11:10 pm (UTC)

Я не говорю, что непедагогично, наоборот, удивляюсь, завидую и хочу влезть в голову, чтоб восхититься во всей полноте. Если, конечно, у составителя задачек нет тупой механической схемы для их генерирования.


Почему-то показалось, что составители имели ввиду что-то такое:
x - y = (x^3 - y^3) / (x^2 + xy + y^2), дальше все корни взаимно уничтожаются

Как "взаимно уничтожаются" x^2 + y^2 в (x^3 - y^3)/(x^2 + xy + y^2) ?

Упс, да, ерунду написал.
Решение здесь наверное самое изящное:
http://users.livejournal.com/_winnie/454803.html?thread=5955731

По-школьному и в понятной нотации:

(sqrt(5) + 2)^(1/3) - (sqrt(5) - 2)^(1/3) = x

a - b = x
a^3 - b^3 = sqrt(5) + 2 - sqrt(5) + 2 = 4
a*b = sqrt(5)^2 - 2^2 = 1
(a - b)^3 = a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3 = 4 - 3*(a - b)
x^3 + 3*x - 4 = 0
(x - 1)*(x^2 + x + 4) = 0

x = 1



Edited at 2015-03-28 11:01 pm (UTC)

Угу, всё правильно (на экзамене правда могут придраться "не обозначено, что такое a и b, не посчитан дискриминант x^2 + x + 4").

Ещё в третьей строчке забыл куб извлечь из 1: a*b = (sqrt(5)^2 - 2^2)^(1/3) = 1

1
чисто случайно нашел ответ наобум возведя sqrt(5)-1 в куб
а вообще первая мысль была про числа фибоначчи и золотое сечение, но не нашел, как это сюда пришить
очень интересно, спасибо

Без бумажки решать тяжело...
1 нашёл (возведя в куб, получив уравнение и отгадав корень), но проверить уже не смог.

Хотел решить в уме, но не получилось, пришлось взять бамашку. Обозначаем первый корень за x, второй за y. Замечаем, что x y = 1.

Возводим в куб и получаем:

(x-y)^3 = 4 - 3(x-y)
a^3 + 3a = 4

Очевидно, a = 1 удовлетворяет. Но нужно еще и показать, что это единственный вещественный корень для a > 0. Тот факт, что ответ больше нуля очевиден.

Ну тут можно заметить, что функция от a растет монтонно.




wolframalfa подсказывает что

* cuberoot(sqrt(5)+2)=1/2(sqrt(5)+1)
* cuberoot(sqrt(5)-2)=1/2(sqrt(5)-1)

тогда ответ получается очень просто.

Это равенство можно прямо проверить подстановкой, но я не представляю себе как его вывести.

Вообще-то кубических корней три. Но предположим, что мы ищем действительные значения.

Для краткости записи в жж пусть эти слагаемые - a и b. Тогда всё выражение - x=a-b.

x^3 = aaa-3aab+3abb-bbb

В данном случае у нас:
aaa-bbb=4
ab=1

А стало быть:
x^3 = 4-3a+3b = 4-3x

Это уравнение третьей степени. У него будет как минимум один действительный корень. Решаем:

x^3-x = 4-4x
x(x^2-1) = 4(1-x)
x(x+1)(x-1)=-4(x-1)

Предположим, x≠1. Тогда делим обе стороны на (x-1).

x(x+1)=-4
x^2+x+4=0

У этого уравнения нет действительных корней.

Стало быть, действительное решение уравнения x=1, т.е. a-b=1.

  • 1