Задачи элементарной математики

Этот ЖЖ посвящен решению задач элементарной математики, встретившихся мне и по тем или иным причинам привлекших мое внимание.

Правила игры:

В тексте post дается условие задачи. Решение задачи приводится в комментариях через несколько дней после опубликования условия. Дабы не было неинтересно, решение дается "под катом". До ката пишется только от кого решение. Прежде чем публиковать свое решение, рекомендую посмотреть чужие. Полагаю осмысленным публиковать лишь решения не публиковавшиеся раньше.

Если у вас есть желание опубликовать свою задачу, напишите, опубликую.

Валентин Евстафьев

Андрею предложили задачку, а он любезно предложил её мне. Отличная формулировка.

Встречаются два математика, разговаривают за жизнь. Один говорит другому: "У меня две дочки". Второй спрашивает: "Сколько им лет?" Первый отвечает: "Обе дошкольницы, а произведение их возрастов равно числу ворон, сидящих перед нами". Второй говорит: "Этих условий недостаточно". Первый: "А, ну да, младшая похожа на маму". Второй: "Тогда всё понятно".

Вопрос: сколько лет дочкам?

Ответы пока скроем.

Из произвольной точки А проведены две касательные к окружности с центром О. Точки касания – Т₁ и Т₂. Хорда Т₁Т₂ касается окружности, концентрической данной, в точке С. Отрезки ОТ₁ и ОТ₂ пересекают внутреннюю окружность в точках Т₃ и Т₄ соответственно. Через точки Т₃ и Т₄ проведены касательные к внутренней окружности. Доказать, что точка их пересечения В лежит на внешней окружности.