Tags: бесконечность

Орел

Почему Ахиллес не догонит черепаху

Подумалось тут про апорию Зенона. Мы берём отрезок пространства и отрезок времени и начинаем их делить пополам, считая каждый такой шаг. В этом мы противопоставляем друг другу две бесконечности: первую - в смысле делимости, вторую - в количественном отношении. Число отрезков, на которые мы делим промежутки пространства и времени, бесконечно, и число шагов, которые нам нужно сосчитать, бесконечно. Однако первая бесконечность имеет мощность континуума, поскольку соответствует количеству действительных чисел (бесконечную делимость мы можем устроить только на непрерывном множестве действительных чисел), а вторая бесконечность имеет счётную мощность, т.е. соответствует количеству натуральных чисел. А мощность континуума больше счётной мощности. Поэтому даже если мы и сумеем насчитать бесконечное количество шагов (и дойдём до первого кардинального числа), мы увидим, что Ахиллес ещё не догнал черепаху, поскольку количество действительных чисел больше количества натуральных!

Зенон, конечно, этого не знал, поскольку греки не имели представления о действительных числах.